カウボーイの馬が飲んでる最中に逃げないワケ

古い西部劇には、馬に乗ったカウボーイが酒場にやってきて、馬をつなぎとめるのにロープを柵にクルクルっと回して一杯やるというシーンがあった。結ぶでもなく、ただクルクルっとやるだけ。
あれで本当に馬がつなぎとめられるのか、考える。

（この問題、ヤフーの質問で見かけたりするけど、いきなり「オイラーのベルト理論」とかいう高尚な結果から解答が始まってたから、ちゃんと基礎から導いてみる。）

ロープと柵との静止摩擦係数をμとし、図に示したようにロープの微小部分に着目する。
微小部分は、角度θの点で微小角ｄθに相当する部分である。

Ｂ点での張力をＴ、Ｃ点での張力をＴ’、ロープの微小部分での摩擦力をμｄＲとする。
（最大静止摩擦力は、静止摩擦係数×垂直抗力）

馬がロープを引っ張って、まさにロープが滑りだす寸前での力のつり合いの式を、ロープのＣ点で考えると、つぎのようになる。

Ｔ’＝Ｔ＋μｄＲ　　①

ロープの微小部分が中心方向から受ける垂直抗力ｄＲは、

ｄＲ＝Ｔ’sin(dθ)≒Ｔ’dθ　　②
（ここで、角度が小さい時の近似式、sin(dθ)≒dθを用いた。）

すると、①はつぎのように変形できる。

Ｔ’-Ｔ＝μｄＲ

Ｔ’-Ｔ＝ｄＴと置き換えて、

ｄＴ＝μｄＲ

②を用いると、

ｄＴ＝Ｔ’μdθ

両辺が１次の微分だから、Ｔ’の２次以上の微小量を無視すれば、Ｔ’はＴと置き換えられるから、

ｄＴ＝Ｔμdθ

ｄＴ/Ｔ＝μdθ

θ＝０でＴ0、θ＝θ1でＴ1として、両辺を定積分すれば、

log(T1/T0)=μθ1

よって、T1/T0=exp(μθ1)　　③

（③式を、オイラーのベルト理論というそうです）

実際に数値を入れてみる。

ロープを２回巻いたとすると、θ1は４π。摩擦係数μを0.5とすると、μθ1が6.3。

すると③式からT1/T0はおよそ500くらい。つまり、Ａ点から垂れているロープの重さの500倍くらいの力に耐えることができる。馬の体重が300ｋｇくらいだとすれば、Ａ点から垂れているロープの重さが0.6ｋｇもあれば、ロープを２回転半くらい巻いておけば、十分に馬をつなぎとめておくことができる。