病的な関数

病的な関数

つぎのような関数f(x)がある。
f(x)=x,(ただしxが有理数のとき)
f(x)=0,(ただしxが無理数のとき)

この関数の連続性について考える。

そのまえに、有理数と無理数の稠密(ちゅうみつ)性について証明する。

＜有理数の稠密性について＞
任意の実数a,bがあったとき、a<p<bを満たす有理数pが存在する。
証明)
1/(b-a)<N
を満たすようなNを設定すれば、
n/N(nは整数)
と表せる数は有理数であり、幅1/N<(b-a)ごとに等間隔に存在する。よって、このような数の中にはaより大きくbより小さな有理数が必ず存在する。(有理数の稠密性の証明終)

＜無理数の稠密性について＞
任意の実数a,bがあったとき、a<q<bを満たす無理数qが存在する。

証明)
上で有理数の稠密性を証明してあるので、ある無理数r(例えば√2)に対して
r+有理数
という集合を作れば無理数の集合となり、且つ有理数は稠密であるから無理数全体も稠密集合となる。よって、任意の実数a,bがあったとき、a<q<bを満たす無理数qが存在する。(無理数の稠密性の証明終)

ここで、最初の問題に戻る。
ある無理数s(≠0)について、有理数の稠密性からsに収斂する有理数の無限級数列{Xn}が存在する。しかし、関数f(Xn)はXnが有理数だからf(Xn)=Xnである。またsは無理数だから関数f(s)=0である。よって、f(Xn)≠f(s)となり、fはsで連続でない。
今度はsが有理数の場合を考える。ある有理数s(≠0)について、無理数の稠密性からsに収斂する無理数の無限級数列{Yn}が存在する。しかし、関数f(Yn)=0であり、f(s)=sだから、f(Xn)≠f(s)となり、fはsで連続でない。
さいごに、s=0の場合を考える。このとき、任意のεにたいし|f(x)-f(0)|<εとなるようなxは、|x-0|<δ(=ε)となるようなxをとれば成立するから、fはx=0で連続である。

すると、関数f(x)はx≠0のいたるところで不連続であり、x=0でのみ連続となる。

関数の微小部分を考えてもまったく想像できないが、関数の連続の定義により、このような病的な関数が存在する。ご興味のある方は、調べてもらうと他にも病的な関数がたくさんある。人間の直感というものは狭いものだが論理によって新たな事実がわかり、それを吸収することで人間の直感の幅は広がっていく(と思う、たぶん。)

※有理数の稠密性や、無理数の稠密性を証明した。
稠密とは俗にいえば、数直線上に隙間なくビッシリと数が並んでいることをいう。
有理数が稠密であるとは、数直線上に有理数がビッシリ隙間なく並んでいることをいう。
1/1000000とどんな小さな数でも分数で表現できるからだ。しかし、稠密であることと数直線上を有理数だけで表現できることとは意味が違う。穴がある。例えば√2が穴だ。有理数では表現できない。すべての数を表現できる集合は稠密ではなく「完備」という。